线代笔记 向量及向量组的概念与应用 1. 向量的基本概念 定义：向量是一个同时具有大小和方向的量。在数学中，通常用有序数组表示，如 \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n)\)。 表示方法： 几何表示：箭头表示，起点到终点的方向代表向量的方向，长度代表向量的大小。 代数表示：有序数组或矩阵形式。 基本运算： 加法：\(\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2, ..., u_n + v_n)\) 数乘：\(c\mathbf{v} = (cv_1, cv_2, ..., cv_n)\)，其中 \(c\) 是一个标量。 内积（点积）：\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + ... + u_nv_n\) 2. 向量组的概念 定义：一组向量的集合称为向量组，例如 \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_m\}\)。 线性组合：给定 ...

特征值与特征向量 在数学中，特别是线性代数领域，特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。对于给定的线性变换（通常表示为一个方阵 (A)），如果存在一个标量 (\lambda) 和一个非零向量 (v) 使得： [ Av = \lambda v ] 则称 (\lambda) 是矩阵 (A) 的一个特征值，而 (v) 是对应于这个特征值的一个特征向量。 特征值 ((\lambda)) 描述了特征向量在变换下的缩放比例。 特征向量 ((v)) 是那些在变换过程中只发生伸缩而不改变方向的向量。 计算方法 求解特征多项式：首先计算矩阵 (A - \lambda I) 的行列式，其中 (I) 是单位矩阵。得到的多项式称为特征多项式。 求解特征值：解特征多项式等于零的方程，即 (\det(A - \lambda I) = 0)，得到的根就是特征值。 求解特征向量：对于每个特征值 (\lambda_i)，解线性方程组 ((A - \lambda_i I)v = 0)，得到的非零解即为对应的特征向量。 应用 主成分分析 (PCA)：在数据降维中， ...