线代笔记

特征值与特征向量

在数学中，特别是线性代数领域，特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念。对于给定的线性变换（通常表示为一个方阵 (A)），如果存在一个标量 (\lambda) 和一个非零向量 (v) 使得：

[ Av = \lambda v ]

则称 (\lambda) 是矩阵 (A) 的一个特征值，而 (v) 是对应于这个特征值的一个特征向量。

  • 特征值 ((\lambda)) 描述了特征向量在变换下的缩放比例。
  • 特征向量 ((v)) 是那些在变换过程中只发生伸缩而不改变方向的向量。

计算方法

  1. 求解特征多项式：首先计算矩阵 (A - \lambda I) 的行列式，其中 (I) 是单位矩阵。得到的多项式称为特征多项式。
  2. 求解特征值：解特征多项式等于零的方程，即 (\det(A - \lambda I) = 0)，得到的根就是特征值。
  3. 求解特征向量：对于每个特征值 (\lambda_i)，解线性方程组 ((A - \lambda_i I)v = 0)，得到的非零解即为对应的特征向量。

应用

  • 主成分分析 (PCA)：在数据降维中，特征值和特征向量用于确定数据的主要方向。
  • 图像处理：特征值和特征向量可以用于图像压缩和特征提取。
  • 物理系统：在量子力学中，特征值和特征向量描述了系统的能量状态和其他物理属性。

示例

假设有一个矩阵 (A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 2 \end{pmatrix})，我们可以通过以下步骤求解其特征值和特征向量：

  1. 求解特征多项式： [ \det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 2 - \lambda & 1 \ 1 & 2 - \lambda \end{pmatrix} = (2 - \lambda)2 - 1 = \lambda2 - 4\lambda + 3 ]

  2. 求解特征值： [ \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies (\lambda - 1)(\lambda - 3) = 0 \implies \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 3 ]

  3. 求解特征向量：

    • 对于 (\lambda_1 = 1)： [ (A - I)v = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \implies x + y = 0 \implies v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix} ]
    • 对于 (\lambda_2 = 3)： [ (A - 3I)v = \begin{pmatrix} -1 & 1 \ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix} \implies x - y = 0 \implies v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} ]

因此，矩阵 (A) 的特征值为 (\lambda_1 = 1) 和 (\lambda_2 = 3)，对应的特征向量分别为 (v_1 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}) 和 (v_2 = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix})。